车辆报废应该由以下部门负责办理：
1. 公安机关交通管理部门（车管所）
2. 报废机动车回收拆解企业
报废流程通常如下：
报废汽车拥有者向公安机关交通管理部门申请报废手续。
公安机关出具《机动车报废证明》，并告知报废汽车拥有者将车辆交售给指定的报废汽车回收企业。
报废汽车拥有者将报废汽车交给报废汽车回收企业。
回收企业凭《机动车报废证明》收购报废汽车，并向报废汽车拥有者出具《报废汽车回收证明》。
报废汽车拥有者凭《报废汽车回收证明》，向汽车注册登记地的公安机关办理注销登记。
以上流程依据《机动车强制报废标准规定》执行，相关部门如商务、环境保护、发展改革等部门也负责报废机动车回收拆解的监督管理。