遭遇被敲诈勒索时，可以通过以下途径进行投诉或报案：
提供详细的被敲诈勒索事件经过、相关证据（如聊天记录、录音、视频等）以及对方的基本信息。
公安机关会依法进行调查处理，通过调查取证来核实情况，确定是否存在敲诈勒索行为，并对违法者进行相应的处罚。
如果被敲诈勒索行为发生在消费过程中，可以向消费者协会反映，他们会根据具体情况进行调解或督促经营者依法处理，维护消费者的合法权益。
比如涉及医疗领域的被敲诈勒索，可向卫生健康部门投诉；涉及交通领域的，可向交通管理部门投诉等。
这些部门会根据具体情况进行调查和处理，以确保公平公正。
被敲诈勒索行为发生地的基层人民调解组织可以安排专业人员主持调解，促使双方当事人在平等协商的基础上达成和解协议，解决纠纷。
如果是在网络中被人敲诈勒索，可以通过拨打110报警电话、发送“12110”短信报警或微信报警。
“12110”短信报警平台主要为听力语言残障人士的报警、求助、投诉提供了条件，同时解决了在特殊情形下报警人不宜采用拨打110电话进行报警的难题。
在投诉或报案过程中，要保持冷静，提供准确的信息和证据，以便更好地维护自己的权益。同时，建议定期更新和加强密码，使用复杂且独特的密码，避免使用相同密码多个账户，以保护自己免受敲诈勒索的侵害。